vector和scalar的区别（‘向量’和‘矢量’的区别）

本文目录

• ‘向量’和‘矢量’的区别
• 什么叫矢量性
• 谁能解释下这几种数据类型吗 vector和array有什么不同 scalar又是如何的
• 标量、向量、矩阵、张量及向量和矩阵范数简介
• scalar与vector之间的区别
• 矢量与标量的意思

‘向量’和‘矢量’的区别

多数人认为向量和矢量是同一概念，实际上还是有一些区别的。
“矢量”
概念更多地出现在《物理学》中，指既有大小又有方向的一类物理量，比如位移、速度、加速度、力、力矩、动量、角动量、电场强度、磁感强度等。拿物体受力平衡来说，若物体受平面共点力作用，其平衡方程为ΣFx＝0，ΣFy＝0；若受非共点力还要加上力矩平衡方程ΣM＝0。注意物理学中这些力(矢量)并不一定要求用空间坐标来表示，一般用模和角度表示，以便于向x轴及y轴投影即施行正交分解。
“向量”概念更多出现大学《线性代数》中，所有向量起点都在坐标原点，向量终点都用空间坐标表示，这些向量一般不代表物理学中的物理量，而代表空间的有向线段。若这些向量线性无关，则可建构线性空间它们就做线性空间的基；如果线性相关则其中至少有一个向量可由其它向量(基)线性表出。线性空间的向量一般可做线性运算、内积运算、范数(模)运算等。物理学矢量还可做梯度、散度、旋度运算，向量空间的向量好像没有这些运算。向量与矩阵密切联系(向量可视为列矩阵)，线性空间的向量方程也可等价地表述为矩阵方程。

什么叫矢量性

矢量(vector) 矢量 标量(scalar quantity)：只具有大小而没有方向的物理 标量 ： 我们把它称之为标量。 量，我们把它称之为标量。 矢量：有一种物理量， 矢量：有一种物理量，仅用大小还不能全面的来描述 还需要用方向来描述它。例如说， 它，还需要用方向来描述它。例如说，我们只知道一 个人从学校门口走了1公里 公里， 个人从学校门口走了 公里，就无法确定他到了什么 地方。但如果还知道了他走的方向是正东， 地方。但如果还知道了他走的方向是正东，我们就能 确定他到了什么地方了。这种既具有大小又具有方向 确定他到了什么地方了。这种既具有大小又具有方向 的物理量，我们把它称之为矢量。 的物理量，我们把它称之为矢量。 矢量与标量的根本区别是有没有方向。 矢量与标量的根本区别是有没有方向。青岛科技大学 大学物理讲义 v 矢量的模(module)：矢量的大小称为矢量的模。矢量 A 矢量的模 ：矢量的大小称为矢量的模。 v 的模记为： 的模记为：A 或 | A |。矢量具有平移不变性(translation invariant)：把矢量在 矢量具有平移不变性 ： 空间中平移，矢量的大小和方向不会改变， 空间中平移，矢量的大小和方向不会改变，这种性质 称为矢量平移的不变性。 称为矢量平移的不变性。 二 矢量的表示 在直角坐标(rectangular coordinates)中的表示：一个 中的表示： 在直角坐标 中的表示 v 矢量 A ，可以用它在直角坐标系中的三个投影分量 (component) Ax、Ay 和 Az 来表示： 来表示： v v v 单位矢量，分别指向三个坐标轴的正向。 i 、j、k ：单位矢量，分别指向三个坐标轴的正向。青岛科技大学 大学物理讲义 v v v v A = Ax i + A y j + Az k 在球坐标中的表示： 在球坐标中的表示： v v A = AeA v v v 其中： 的模， 其中： A 为矢量 A 的模，eA 为指向矢量 A方向的单位矢量(unit vector)。 矢量 。 v 方向余弦(directional cosine)：一个矢量 A 与直角坐标 方向余弦 ： v 三个坐标轴正向的夹角α、β 和 γ 称为矢量 A 的方向余弦。显然有： 余弦。显然有： Ay Ax Az cos α = cos γ = cos β = A A A v v v v 用方向余 A = A(cos α i + cos β j + cos γ k ) 弦表示青岛科技大学 大学物理讲义 三 矢量的合成 1. 矢量相加 矢量相加(addition) v v v v v v v v A + B = ( Ax i + Ay j + Az k ) + ( Bx i + B y j + Bz k ) v v v = ( Ax + Bx )i + ( Ay + B y ) j + ( Az + Bz )k 2. 矢量相减 矢量相减(minus) v v 方向相反，大小相等， 由于矢量 ? B 与 B 方向相反，大小相等，有： v v v v ? B = ? Bx i ? B y j ? Bz k 青岛科技大学 大学物理讲义 矢量相减 v v v v v v v v A ? B = ( Ax i + Ay j + Az k ) ? ( Bx i + B y j + Bz k ) v v v = ( Ax ? Bx )i + ( Ay ? B y ) j + ( Az ? Bz )k 矢量的加减合称为矢量的合成 矢量的加减合称为矢量的合成(compose, 合称为矢量的合成 四 矢量的标积与矢积 1. 矢量的标积 矢量的标积(scalar product) 矢量的标积也称为矢量的点乘 点乘， 矢量的标积也称为矢量的点乘，定义为 sum) 实质是一 矢量大小 与另一矢 量在其方 向上投影 大小乘积 v v A B = AB cos α v v v v v v 标积的定义得： i i = j j = k k = 1 标积的定义得： v v vv v v vv v v v v 青岛科技大学 i j = j i =i k =k i = j k =k j =0 大学物理讲义 矢量的标积遵守 (1) 交换率： 交换率： (2) 结合率： 结合率： v v v v AB=B A v v v v v v v ( A + B) C = A C + B C 2. 矢量的矢积 矢量的矢积(vector product) 矢量的矢积也称为矢量的叉乘，定义为： 矢量的矢积也称为矢量的叉乘，定义为： 叉乘 v 根据右手螺旋定则判定的单位矢量。 其中 e 为由 A 和 B 根据右手螺旋定则判定的单位矢量。由矢积的定义得： 由矢积的定义得： v v v A × B = AB sin α e v v v v v v v v i ×i = j × j = k ×k = 0 大学物理讲义 青岛科技大学 v v v i × j =k v v v j × i = ?k 记忆方式 v v v j ×k = i v v v k × j = ?i v v v k ×i = j v v v i ×k = ? j v v v v v v v v v i ? j ? k ? i ? j ? k ? i ? j ? k ??? 正向叉乘为正，逆向叉乘为负。 正向叉乘为正，逆向叉乘为负。 叉乘具有以下性质： 叉乘具有以下性质： (1) 不遵守交换率： 不遵守交换率： v v v v A × B = ?B × A 注意坐 标轴的 右手螺 旋定则 v v v v v v v (2) 遵守分配率： C × ( A + B ) = C × A + C × B 遵守分配率： (3) 平行或反平行的两矢量的矢积为0。 平行或反平行的两矢量的矢积为 。青岛科技大学 大学物理讲义 五 1. 矢量的微积分 矢量的微分(differential) 矢量的微分 只要把矢量的性质应用于标量的导数公式即可： 只要把矢量的性质应用于标量的导数公式即可： v v d v v dA dB (1) 　 ( A + B) = + dt dt dt v v d df (t ) v dA (2) = A + f (t ) dt dt dt v v v dB dA v d v v B (3) ( A B) = A + dt dt dt v v v dB dA v d v v (4) ( A × B) = A × + ×B dt dt dt 青岛科技大学 大学物理讲义 作为(1)式的特例，对直角坐标下的矢量： 作为 式的特例，对直角坐标下的矢量： 式的特例 v v v v A = Ax i + Ay j + Az k 有 v dA dAx v dAy v dAz v = i+ j+ k dt dt dt dt 作为(2)式的例子，在球坐标下的矢量： 作为 式的例子，在球坐标下的矢量： 式的例子 v v A = AeA 有 v v deA dA dA v = eA + A dt dt dt 大学物理讲义 青岛科技大学 2. 矢量的积分 矢量的积分(integral) 的积分： （1）对时间 t 的积分： ） ∫ t2 t1 v v t2 v v Adt = ∫ ( Ax i + Ay j + Az k )dt t1 = (∫ t2 t1 v t2 t2 v v Ax dt )i + ( ∫ Ay dt ) j + ( ∫ Az dt )k t1 t1 的线积分： （2）沿曲线 s 的线积分： ） ∫ s v v v v v v v v A ds = ∫ ( Ax i + Ay j + Az k ) (dxi + dyj + dzk ) s = ∫ Ax dx + ∫ Ay dy + ∫ Az dz x1 y1 z1 青岛科技大学 大学物理讲义 x2 y2 z2 六 位置矢量(position vector) 位置矢量 参考系(reference system) 1 参考系 为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系. 为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系 选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不同， 选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不同， 这就是运动描述的相对性. 这就是运动描述的相对性 实例 2 质点(material point, mass point) 质点( 研究某一物体的运动时，如果可以忽略其大小和形 研究某一物体的运动时，如果可以忽略其大小和形 状对物体运动的影响， 状对物体运动的影响，就可以把物体当作是一个具 有质量的点（即质点）来处理 . 有质量的点（ 质点） 质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模型 . 目的是为了突出研究对象的主要性质 , 暂不考虑一 些次要的因素 . 青岛科技大学 大学物理讲义 3 位置矢量 位置矢量(position vector) 确定质点P某一时刻在 确定质点 某一时刻在 坐标系里的位置的物理量称 v .在直 位置矢量, 位置矢量 简称位矢 r 在直 角坐标中，它的表达式为： 角坐标中，它的表达式为： y y v j v *P r v i v v v v r = xi + yj + zk vv v j k 式中 i、 、 分别为x、y、z 轴方向的单位矢量. 轴方向的单位矢量 o z v x k z x v 的大小(模 为 位矢r 的大小 模)为青岛科技大学 v 2 2 2 r = r = x + y +z 大学物理讲义 v 位矢 r 的方向余弦 cosα = x r cos β = y r cos γ = z r y β v r α P P o 4 轨迹方程(equation of locus) 轨迹方程 曲线的方程既可以表示为 z γ x v r (t ) y y (t ) f (x, y, z) = 0 也可以用直角坐标的三个 分量表示成青岛科技大学 z z (t ) o 大学物理讲义 x(t ) x 分量式 (参数方程 参数方程) 参数方程 x = x(t ) y = y (t ) z = z (t ) 也可以表示成一个矢量末端的运动轨迹 v v v v r (t) = x(t)i + y(t) j + z(t)k 由轨迹方程的矢量形式， 由轨迹方程的矢量形式，我们马上可以写出曲线方程 的分量式， 的分量式，从分量式中消去参数 t ，就可以得到得我 们熟悉的曲线方程 f (x, y, z) = 0 青岛科技大学 大学物理讲义 例如 已知螺旋线的参数方程为 x = a cosθ 则其矢量方程为 y = a sin θ z = bθ v 矢量r 对自变量 θ 的导数 v v v v dr = ? a sin θ i + a cosθ j + bk dθ 的函数， 如果自变量 θ 还是时间 t 的函数，有 v v v v r = a cosθ i + a sin θ j + bθ k v dr dθ v dθ v dθ v = ? a sin θ ? i + a cosθ ? j +b? k dt dt dt dt 青岛科技大学 大学物理讲义 运动描述的相对性 母亲带着听话的儿子上了一辆公共汽车， 母亲带着听话的儿子上了一辆公共汽车，汽车飞速 行驶时，母亲对儿子说：“站好了，别动。”儿子听话 行驶时，母亲对儿子说： 站好了，别动。 的好好站着，这时若以母亲为参照系，儿子是静止的， 的好好站着，这时若以母亲为参照系，儿子是静止的， 若以地面的观测者为参照系，小孩是运动的。 若以地面的观测者为参照系，小孩是运动的。

谁能解释下这几种数据类型吗 vector和array有什么不同 scalar又是如何的

• vector 指矢量，即具有大小和方向的物理量，如速度、动量、力。

• array 指数组/阵列，即按量值大小直线形排列或数横为行纵为列的矩形排列的数字数据。

• scalar 指标量，即一个完全由其大小决定而没有方向的数量，如质量、长度或速度等。

• list 指列表，即数据项的一个有序集合。

• matrices（单数形式matrix）指矩阵，即由横排成行、纵排成列 的元素组成的一种矩形阵列。

• tables 指表格，即数据构成一个矩形的竖行和横行进行排列的一张表格

• complex 指复形，即由相互关联交织的部分组成的整体

• number 指数字，即一种可以表示单位数量的数学实体

标量、向量、矩阵、张量及向量和矩阵范数简介

标量（scalar）
一个标量表示一个单独的数，它不同于线性代数中研究的其他大部分对象（通常是多个数的数组）。我们用斜体表示标量。标量通常被赋予小写的变量名称。

向量（vector）
​一个向量表示一组有序排列的数。通过次序中的索引，我们可以确定每个单独的数。通常我们赋予向量粗体的小写变量名称。当我们需要明确表示向量中的元素时，我们会将元素排列成一个方括号包围的纵柱：

矩阵（matrix）
​矩阵是具有相同特征和纬度的对象的集合，表现为一张二维数据表。其意义是一个对象表示为矩阵中的一行，一个特征表示为矩阵中的一列，每个特征都有数值型的取值。通常会赋予矩阵粗体的大写变量名称，比如 。

张量（tensor）
​在某些情况下，我们会讨论坐标超过两维的数组。一般地，一个数组中的元素分布在若干维坐标的规则网格中，我们将其称之为张量。使用 来表示张量“A”。张量 中坐标为 的元素记作 。

四者之间关系

向量的范数(norm)
​ 定义一个向量为： 。任意一组向量设为 。其不同范数求解如下：

矩阵的范数

定义一个矩阵 。 任意矩阵定义为： ，其元素为 。

矩阵的范数定义为

当向量取不同范数时, 相应得到了不同的矩阵范数。

素绝对值先求和，再从中取个最大的,（列和最大），上述矩阵 的1范数先得到 ，再取最大的最终结果就是：9。

其中， 为 的特征值绝对值的最大值。

scalar与vector之间的区别

有些物理量，既要由数值大?包括有关的单位)，又要由方向才能完全确定。这些量之间的运算并不遵循一般的代数法则，而遵循特殊的运算法则。这样的量叫做物理矢量。
有些物理量，只具有数值大小(包括有关的单位)，而不具有方向性。这些量之间的运算遵循一般的代数法则。这样的量叫做物理标量。
简单来说,标量是指只有大小，没有方向的物理量。如：质量、时间以及我们这里学习的功等。
与它相对应的是矢量，矢量是指既有大小又有方向的物理量，如力、位移、速度、
冲量、动量等等。

矢量与标量的意思

矢量（vector quantity）和标量（scalar quantity）的定义　
（1）定义或解释：有些物理量,既要有数值大小(包括有关的单位),又要有方向才能完全确定.这些量之间的运算并不遵循一般的代数法则,而遵循特殊的运算法则.这样的量叫做物理矢量.有些物理量,只具有数值大小(包括有关的单位),而不具有方向性.这些量之间的运算遵循一般的代数法则.这样的量叫做物理标量.
（2）说明：①矢量之间的运算要遵循特殊的法则.矢量加法一般可用平行四边形法则.由平行四边形法则可推广至三角形法则、多边形法则或正交分解法等.矢量减法是矢量加法的逆运算,一个矢量减去另一个矢量,等于加上那个矢量的负矢量.A-B=A+(-B).矢量的乘法.矢量和标量的乘积仍为矢量.矢量和矢量的乘积,可以构成新的标量,矢量间这样的乘积叫标积；也可构成新的矢量,矢量间这样的乘积叫矢积.例如,物理学中,功、功率等的计算是采用两个矢量的标积.W=F·S,P=F·v,物理学中,力矩、洛伦兹力等的计算是采用两个矢量的矢积.M=r×F,F=qv×B.②物理定律的矢量表达跟坐标的选择无关,矢量符号为表述物理定律提供了简单明了的形式,且使这些定律的推导简单化,因此矢量是学习物理学的有用工具.”