正则方程推哈密顿原理（哈密尔顿方程）

本文目录

• 哈密尔顿方程
• 正则变换1
• 哈密顿原理
• 哈密顿凯莱定理是什么
• 分析力学基本原理介绍7.2：哈密顿运动方程（1）

哈密尔顿方程

哈密尔顿-雅戈比方程（Hamilton-Jacobi equation，HJE） ，是分析力学中用以求解正则方程的一个偏微分方程，是经典力学的一种表述。哈密尔顿-雅戈比方程是经典哈密顿量一个正则变换，经过该变换得到的结果是一个一阶非线性偏微分方程，方程之解描述了系统的行为。在物理学里，哈密尔顿-雅戈比方程（Hamilton-Jacobi equation，HJE） 是经典力学的一种表述。哈密尔顿-雅戈比方程、牛顿力学、拉格朗日力学、哈密顿力学，这几个表述是互相全等的。而哈密尔顿-雅戈比方程在辨明守恒的物理量方面，特别有用处。有时候，虽然物理问题的本身无法完全解析，哈密顿-雅可比方程仍旧能够正确的辨明守恒的物理量。
HJE 是经典哈密顿量一个正则变换，经过该变换得到的结果是一个一阶非线性偏微分方程，方程之解描述了系统的行为。与哈密顿运动方程的不同之处在于 HJE 是一个偏微分方程，每个变量对应于一个坐标，而哈密顿方程是一个一阶线性方程组，每两个方程对应于一个坐标。HJE 可以漂亮地解析一些重要问题，例如开普勒问题。
HJE 是唯一能够将粒子运动表达为波动的一种力学表述。因此，HJE 满足了一个长久以来理论物理的研究目标（早至 18 世纪，约翰·伯努利和他的学生皮埃尔·莫佩尔蒂的年代）；那就是，寻找波传播与粒子运动的相似之处。力学系统的波动方程与薛定谔方程很相似；但并不相同。稍后会有详细说明。HJE 被认为是从经典力学进入量子力学最近的门阶。

正则变换1

在旧正则坐标下，哈密顿修正原理为
为保证正则变换的有效性，即变换后新坐标 依然是正则坐标，哈密顿修正原理在新坐标下必须同样被满足：
如果我们固定相空间中路径的端点，那么上述的两个作用量的被积函数将只会相差一个二阶可微函数 关于时间的全微商。于是有
上式是一个正则变换 应满足的具体条件。于是，根据 Proposition 1 ，

本篇介绍最常见的四类正则变换母函数，它们分别是：

第一类正则变换母函数，也就是 ，是最基础的类型，它直接来源于方程 。而剩下的三类母函数均可通过使用与第一类母函数的勒让德变换构造出来。

我们首先写出方程 的微分形式，然后移项调整，得到
可见，此时等式右侧的独立变量为新旧坐标 的混合，所以左侧的函数

也应取 为自己的独立变量，于是式子可以被更明确地写为
这样便得到了第一类正则变换母函数 。

对等式 左侧进行展开，有
将 代入 ，就能够得到第一类关系式：
已知第一类母函数及其与正则坐标间的关系式，接下来本篇给出一套使用微分关系 来得到其余三类正则变换母函数的系统步骤：

这样的叙述似乎不太好理解，让我用一个例子来进一步说明。

现在考虑第四类正则变换母函数 。将它作为我们的目标函数，从第一类母函数 出发，按照上述给出的步骤，要如何得到第四类母函数？

首先我们看到，第四类母函数的变量依赖为 ，所以除时间外，这对于第一类母函数而言将是完全不同的依赖关系。这意味着当我们在执行操作（2）时，旧的依赖关系全都需要被代换掉：
进一步移项后得到
此时左侧可以合并，于是
可见，我们得到了形式为（iv）的母函数
由于 左侧依赖变量 ，其微分形式为
将 与 逐项对应，便可得到第四类关系式。

哈密顿原理

哈密顿原理，是英国数学家W．B．哈密顿1834年发表的动力学中一条适用于完整系统十分重要的变分原理。它可表述为：在N+1维空间(q1，q2，…，qN；t)中，任两点之间连线上动势L(q，t)(见拉格朗日方程)的时间积分以真实运动路线上的值为驻值。

变分法的发明使分析力学的建立和扩展有了简便的数学工具。变分法发端于雅各布 · 伯努利和约翰 · 伯努利兄弟俩以及约翰的学生欧拉的卓越工作，并由拉格朗日用于构建其分析力学。变分原理使分析力学的微分形式和积分形式相互等价、易于转换。作用量之变分为零(意指作用量取极值)，即可由以简捷地导出拉格朗日方程和哈密顿正则方程等。所谓哈密顿作用量，就是拉氏量对时间的积分；对应于实际发生的运动，其变分为零，即作用量取作极值。这就是哈密顿原理。

因此，该原理实际是作用量的变分原理，这作用量由拉氏量确定。变分法是普通适用的数学原理；在物理学各领域，拉氏量和哈氏量又是涵盖面极广的物理量。故而，哈密顿原理是物理学中最基本的原理，或可称作第一性原理。这是经典力学后牛顿发展的主要标志，也是物理学近、现代发展的一块重要里程碑。当然，此原理还是以牛顿力学为其理论基础的。

哈密顿凯莱定理是什么

哈密顿-凯莱定理(Hamilton-Cayley theorem)是矩阵的一个重要性质，该定理表述为：设A是数域P上的n阶矩阵，f(λ)=|λE-A|=λn+b1λn-1+…+bn-1λ+bn是A的特征多项式，则f(A)=An+b1An-1+...+bn-1A+bnE=0。

哈密顿(W.R.Hamilton)在他所著《四元数讲义》一书中，涉及线性变换满足它的特征多项式的问题，凯莱(A.Cayley)在1858年的一篇文章中，对n=3的情形验证了此定理，但认为没有必要进一步证明，弗罗贝尼乌斯(F.G.Frobenius)于1878年给出该定理第一个一般性的证明。

哈密顿个人贡献

哈密顿工作勤奋，思想活跃．发表的论文一般都很简洁，别人不易读懂，但手稿却很详细，因而很多成果都由后人整理而得。仅在三一学院图书馆中的哈密顿手稿，就有250本笔记及大量学术通信和未发表论文．爱尔兰国家图书馆还有一部分手稿。

他的研究工作涉及不少领域，成果最大的是光学、力学和四元数。他研究的光学是几何光学，具有数学性质；力学则是列出动力学方程及求解；因此哈密顿主要是数学家。但在科学史中影响最大的却是他对力学的贡献。哈密顿量是现代物理最重要的量。

哈密顿发展了分析力学。1834年，建立了著名的哈密顿原理，使各种动力学定律都可以从一个变分式推出。根据这一原理，力学与几何光学有相似之处。后来发现，这一原理又可推广到物理学的许多领域，如电磁学等。

他把广义坐标和广义动量都作为独立变量来处理动力学方程获得成功，这种方程现称哈密顿正则方程。他还建立了一个与能量有密切联系的哈密顿函数。他解释了锥形折射现象，对现代矢量分析方法的建立作出了贡献。他还创立了四元数。这些成果在现代物理学中都有广泛应用。

哈密顿在数学上的成就，以微分方程和泛函分析两个领域最为突出，如哈密顿算符、哈密顿－雅可比方程等；此外，他对波形曲面的研究，对伽罗瓦理论的补充以及在数学中引入结合律等也都是他的功绩。

哈密顿提出变分原理和正则方程的两篇长论文的题名是《论动力学中的一个普遍方法》(On a Geaeral Me－thod in Dynamics ，1834)和《再论动力学中的普遍方法》(Second Essay on a General Method in Dynamics，1835)，均收入他的《数学论文集》(Mathematical Papers，1940)第二卷。

分析力学基本原理介绍7.2：哈密顿运动方程（1）

哈密顿方程中的第一组 将广义速度表示为了关于广义坐标、正则动量以及时间的函数，它与正则动量 互为反函数，所以第一个方程组并没有设计任何实质上的新概念。尽管如此，对于大多数问题，哈密顿函数通常已由题目给出，在这种情况下，两组等式均是独立并且具有意义的：第一个等式告诉我们广义速度 与变量 的依赖关系；第二个等式则告诉我们 与 的依赖关系。

哈密顿方程与能量函数 均由相同的方式构建。它们具有相同的值。不同之处就在于，能量函数——依然像拉格朗日函数一样——是一个依赖变量 的函数；而哈密顿函数则是一个关于变量 的函数。所以，依赖关系的不同也会对函数随的变化图像造成影响。

对于许多力学系统，我们其实并不需要遵循上述的每一个步骤就能够得到哈密顿函数。许多步骤会由于力学系统的特殊性质得到简化：

在许多问题中，拉格朗日函数可以被表示成关于广义速度的齐次式的加和：
代入哈密顿函数：
我们知道，对于广义坐标不显含时间的系统， ， ；对于保守的单演系统， 。

所以，当存在一个同时满足上述两个条件的系统时，哈密顿函数便自动成为了总能量： 。

这样一来，步骤中的 （3） ， （4） 均可被省略。

对于更广的一类问题， 通常是广义速度的二次函数， 通常是广义速度的一次函数：
（ 注意 ：该表达式中的拉格朗日只有一个，它是关于指标 所对应坐标的函数，其中 和 是关于广义坐标和时间的函数。）

步骤中 （2） 至 （5） 均可使用代数方法进行一次性操作。若指标（系统自由度） ，我们可将广义速度用属于 维位形空间的矢量 来表示。于是，拉格朗日函数的矩阵表示为：

其中 是一个 方阵，若广义坐标相互正交，它同样也将是对角的。

用同样的表示，哈密顿函数变成：
正则动量：
求解 关于 的反函数需要求解矩阵 的逆变换：
（ 注意 ：这里我们默认了逆矩阵的存在，因为动能具有正定性（质量非负），所以方阵 通常都是可逆的。）

它的转置：

接下来我们只需将上面的结果代入哈密顿函数就可以消去关于广义速度的依赖关系：
如果系统的特殊性使得拉格朗日函数具有形式： ，那么我们就可以直接跳过所有中间环节直接写出哈密顿函数： 。

对于方阵 ，它的逆矩阵可由公式：
得到。

其中 为 的行列式。 是余因子，其矩阵元 等于 与删去 行 列后得到行列式的乘积。

当方阵为对角时，其逆矩阵也同样对角，并且对应矩阵元等于原矩阵矩阵元的倒数。